905. 区间选点

给定 N 个闭区间 [ ai, bi ]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量。

位于区间端点上的点也算作区间内。

输入格式

第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai, bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

数据范围

输入样例：

1
2
3
4
3
-1 1
2 4
3 5

输出样例：

1
2

AC

  1. 将每个区间按照右端点从小到大进行排序

  2. 从前往后枚举区间，end 值初始化为无穷小

    • 如果本次区间不能覆盖上次区间的右端点，即 ed < range[i].l

      则需要选择一个新的点，res ++ ; ed = range[i].r;

    • 如果本次区间可以覆盖上次区间的右端点，则进行下一轮循环

时间复杂度 O(nlogn)

证明

  1. 证明 ans <= cnt : cnt 是一种可行方案， ans 是可行方案的最优解，也就是最小值

  2. 证明 ans >= cnt : cnt 是可行方案的一个区间集合，区间从小到大排序，两两间不相交

    所以覆盖每一个区间至少需要 cnt 个点

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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41
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range
{
    int l, r;
    bool operator< (const Range& W) const
    {
        return r < W.r;
    }
}range[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &range[i].l, &range[i].r);
    }
    
    sort(range, range + n);
    
    int res = 0, ed = -2e9;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (ed < range[i].l)
        {
            res++;
            ed = range[i].r;
        }
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}